Анализ распределенных систем

    Объективной причиной математизации различных областей знаний является стремление человека понять сложное поведение исследуемого объекта. Другими словами, описав объект или процесс на языке математики, человек получает возможность выявить и проанализировать сложные логические взаимосвязи между параметрами, характеризующими исследуемую систему.

    На основе зависимостей, полученных после исследования математической модели конкретной системы, становится возможной ее оптимизация, а также создание для неё автоматизированных систем контроля и управления.

    При изучении сложных систем почти всегда на первый план выступает вопрос о сроках и стоимости теоретического исследования.

    Чтобы минимизировать эти затраты необходимы консультации со специалистами, а в ряде случаев использование готовых решений. Ведь намного быстрее и проще посчитать по готовой формуле площадь круга или интеграл, чем сначала выводить формулу и доказывать ее правильность. Даже если хочется разобраться в тонкостях решения сложной задачи и улучшить алгоритм его нахождения, всегда хорошо иметь под рукой уже готовое решение, чтобы сравнивать с ним свое собственное по правильности и эффективности.

    Для решения сложных задач уже отработанными методами используются пакеты прикладных программ. Специалисту при решении своей задачи нужно получить результат с заданной погрешностью. Важную роль для него играет время решения задачи, удобство обращения с постановкой задачи, модификация условий и конечно оптимальная визуализация результатов. Если названные позиции в прикладном пакете хорошо реализованы, человек тратит время на анализ исследуемой математической модели, а не на рутинные действия.

    Наиболее сложные и интересные модели, которые описывают подавляющее большинство реальных процессов - это модели распределенных систем. Модели распределенных систем в математическом представлении чаще всего представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных.

    Исследование математических моделей распределенных систем обычно проводится поэтапно.

    На первом этапе, для получения информации о распределенной системе, исследуется ее математическая модель в одномерной пространственной постановке. Это позволяет с минимальными затратами получить качественное и количественное представление о влиянии параметров на поведение системы, быстро найти численное, а иногда и аналитическое решение, исследовать его единственность и параметрическую устойчивость.

    Когда одномерная постановка задачи полностью исследована, приступают в случае необходимости к численным расчетам двух и трехмерных пространственных моделей исследуемого объекта. Это, как правило, уже инженерные оптимизационные расчеты, которые по стоимости и времени на порядки превышают одномерные варианты. Пакеты прикладных программ для таких расчетов специализированы по отраслям, и даже по конкретным моделям. Требования к вычислительным мощностям также на порядки превышают требования пакетов для одномерных расчетов.

Лаборатория дифференциальных уравнений в частных производных может рекомендовать вам следующий порядок работы по созданию и исследованию математических моделей сложных систем:

1. Сбор экспериментальных данных о реальном процессе, который необходимо смоделировать.
2. Определение физических законов, которые описывают исследуемый реальный процесс.
3. Создание математической модели.
   3.1 Постановка математической задачи в корректной форме т.е.
       - Количество неизвестных должно равняться числу уравнений в системе.
       - Число подгоночных параметров в уравнениях должно быть меньше количества уравнений в системе.
   3.2 Задание начального условия, если задача динамическая.
   3.3 Задание граничных условий, если система распределенная.
   
4. Исследование математической модели.
   4.1 Исследование математической задачи и ее упрощенных постановок аналитическими методами.
       - Определение качественного влияния параметров задачи на её решение.
       - Получение тестовых примеров.
   4.2 Численное решение тестовых задач и задач в упрощенной постановке.
   4.3 Численное решение задачи в полной постановке.
   4.4 Исследование математической модели на устойчивость.
   4.5 Выявление характерных режимов процесса и критических диапазонов параметров.
   4.6 Визуализация результатов.
5. Анализ полученной информации, интерпретация результатов, сравнение с экспериментом. В случае неудовлетворительного согласования с эмпирическими данными возврат к пунктам 1- 4.
6. Оптимизация процесса с использованием полученной математической модели.

    Для численного анализа на персональном компьютере систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (в одномерной пространственной постановке) вы можете использовать пакет 'PDELab'.

Вернуться к оглавлению